Ableitung von Funktionen | Regeln und Beispiele

Die Ableitung von Funktionen ist wichtig für die Auswertung von Funktionen. Dies findet sowohl im Finanzwesen Anwendung, als auch beim maschinellen Lernen. In diesem Artikel findet ihr alle nötigen Grundlagen um in die Differentiation einzusteigen.

Die Ableitungen einer Funktionen können bei verschiedenen Auswertungen einer Funktion eine Rolle spielen. Beispielsweise können so Minima und Maxima gefunden werden oder die Steigung der Funktion an einer Stelle x berechnet werden.

Im Folgenden werden die Regeln für die Ableitung von Funktionen aufgeführt und danach folgenden noch einige Beispiele zur Verdeutlichung.

Regeln

Es werden hier nur die Ableitungsregeln gezeigt und keine Herleitung durchgeführt, da dies nur zur Verwirrung führen würde. Wer mehr darüber wissen möchte, kann hier klicken.

Grundregeln

Ableitung einer Konstanten

Die Ableitung einer Konstanten ist 0. Daher ist die folgende Regel:

Ableitung einer Konstanten

$$f = B \\ f‘ = 0$$

Ableitung einer Variablen

Bei einer Ableitung einer Variablen muss man einfach eine 1 einsetzen. Eine Variable wird immer in der Funktion mitbenannt, wie zum Beispiel: f(x).

Ableitung einer Variablen

$$f(x) = x \\ f'(x) = 1$$

Potenzregel

Bei der Potenzregel werden alle Variablen beachtet, welche einen Exponenten haben, wie z.B. $x^1$ . Bei der Ableitung wird dann der Exponent vor die Variable multipliziert und dann der Exponent der Variablen um 1 verringert.

Potenzregel

$$f(x) = x^n \\ f'(x) = n*x^{n-1}$$

Weiterführende Regeln

Nachdem die Grundlegenden Regeln klar sind, sollte der Blick auf die folgenden Regeln gelegt werden. Oft ist es so, dass eine Funktion nicht nur aus einem Wert besteht, sondern aus verschiedenen Teilen zusammengesetzt ist.

Faktorregel

Die Faktorregel ist interessant, wenn vor einer Variablen ein Faktor(eine Konstante) steht, wie z.B.: $f(x)=3*x^3$ . In diesem Fall leiten wir den x-Teil ab und lassen die 3(den Faktor also) einfachs tehen.

Faktorregel

$$f(x) = y*g(x) \\ f'(x) = y*g'(x)$$

Summen- und Differenzregel

Diese Regel wird man in vielen Funktionen benötigen. Hier dient das + oder – als Separation von den einzelnen abzuleitenden Teilen

Summen- und Differenzregel

$$f(x) = g(x)+h(x) \\ f'(x) = g'(x)+h'(x) \\ \ \\
f(x) = g(x)-h(x) \\ f'(x) = g'(x)-h'(x)$$

Produktregel

Diese Regel kommt zum Tragen, wenn zwei Variablen miteinander multipliziert werden.

Produktregel

$$f(x) = g(x)*h(x) \\ f'(x) = g(x)*h'(x)+h'(x)*g(x)$$

Quotientenregel

Diese Regel wird angewendet, wenn zwei Variablen miteinander dividiert werden. Also wenn eine Variable im Nenner und im Zähler steht.

Quotientenregel

$$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \\ f'(x) = \frac{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)^2}$$

Kettenregel

Diese Regel wird angewendet, wenn die Funktionen ineinander verschachtelt sind. Also z.B. Funktionen wie $(x^2+5)^6$

Quotientenregel

$$f(x) = g(h(x)) \\ f'(x) = g'(h(x))*h'(x)$$

Beispiele

$$f(x) = 3*x^2 + 2 \\ f'(x)= 3*2*x^1 \\ \ \\
f(x) = x^2*x^4 \\ f'(x)= 2*x*x^4+x^2*4*x^3 = 2*x^5+4*x^5=6*x^5 \\ \ \\
f(x) = (x^3+x+3)^3 \\ f'(x)= 3*(x^3+x+3)^2*3*x^2+1$$

Die Beispiele werden bald noch weiter ergänzt.