In diesem Artikel werden einige grundlegenden Operationen mit Matrizen und Vektoren gezeigt. Dazu gehören z.B. die Addition, Subtraktion und Multiplikation.
Einführung
Ein Vektor ist eine lineare Anordnung von Elementen. Die Anzahl dieser Elemente in einem Vektor wird auch die Dimension genannt und gibt die Anzahl der Spalten wieder. In der unten stehenden Abbildung ist ein Spaltenvektor zu sehen, genauso geht natürlich auch ein Zeilenvektor.
Eine Matrix hat im Vergleich zu Vektoren zwei Indizierungen, da eine Matrix mehrere Spalten und Zeilen hat. Wenn eine Matrix die gleiche Anzahl Spalten und Zeilen hat, dann ist es eine quadratische Matrix. Für die Schreibweise ist es noch wichtig, dass zuerst immer die Zeilen und dann die Spalten angegeben werden: R^{Zeilen, Spalten}
Operationen
Transponieren
Eine wichtige Operation auf Matrizen ist das Transponieren. Das wird später insbesondere wichtig, wenn wir mit diesen rechnen wollen. Beim Transponieren werden die Spalten und Zeilen getauscht. Spalte 1 wird also zu Zeile 1. Wenn man eine Matrix zweimal hintereinander transponieren würde, dann würde nichts passieren.
Addition & Subtraktion
Die Addition und Subtraktion von zwei Matrizen gestaltet sich ziemlich einfach. Wichtig ist nur, dass die beiden Matrizen die gleichen Dimensionen haben. Wenn dies erfüllt ist, dann muss jedes Element mit dem gleichen Index addiert/subtrahiert werden.
Multiplikation
Neben den leichten Operationen mit Matrizen kommt jetzt die Matrix Multiplikation. Bei der Multiplikation mit Matrizen sind folgende Dinge zu beachten:
- Die Reihenfolge ist wichtig! A * B ist nicht unbedingt gleich B * A. Also ist die Matrix Multiplikation nicht kommutativ!
- Bei A * B muss die Anzahl der Spalten von A gleich der Zeilen von B sein.
Wir nehmen als Beispiel folgende Werte:
Als Ergebnis werden wir dann eine Matrix mit 3 Spalten(von B) und 2 Zeilen(von A) bekommen. Denn wir müssen jetzt jeden Wert von einer Zeile aus A mit der Spalte aus B Multiplizieren. Also C11 müssen wir wie unten im Beispiel blau markiert die erste Zeile aus A und die erste Spalte aus B nehmen. Bei C12 dann die erste Zeile aus A und die zweite Spalte aus B und so weiter.
Mathematisch kann also für C folgendes ausgedrückt werden:
Weitere Informationen könnt ihr hier nachlesen: